Question

如圖，已知圓O的直徑AB=4，定直線L到圓心的距離為4，且直線L⊥直線AB。點(diǎn)P是圓O上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線PA、PB分別交L與M、N點(diǎn)。
試建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，解決下列問題：

（1）若∠PAB=30°，求以MN為直徑的圓方程；
（2）當(dāng)點(diǎn)P變化時(shí)，求證：以MN為直徑的圓必過圓O內(nèi)的一定點(diǎn)。

Answer 1

（1）；（2）詳見解析

試題分析：（1）由已知得，又，則根據(jù)斜率的關(guān)系，且過點(diǎn)（2，0），可求，分別求直線與的交點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求以為直徑的圓的方程；（2）
設(shè)，由直線和的方程，分別求與的交點(diǎn)，得，利用勾股定理求以為直徑的圓截軸的弦長為，長度為定值，故圓過定點(diǎn).（1、該題還可以根據(jù)兩直線的垂直關(guān)系設(shè)直線方程，斜率分別為和，方法如上；2、對(duì)于探索型和開放型題目，大膽的猜想和必要的論證是解決問題非常好的方法）.
試題解析：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，⊙O的方程為，直線L的方程為.
（1）∵∠PAB=30°，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∴，,將x=4代入，得,∴MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），MN=,∴以MN為直徑的圓的方程為,同理，當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，所求圓的方程仍是；
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∴（），∴，∵，將x=4代入，得，，∴，MN=，MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
以MN為直徑的圓截x軸的線段長度為
為定值。∴⊙必過⊙O內(nèi)定點(diǎn).