Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面相互垂直，AB= ，AF=1，G為線段AD上的任意一點．
（1）若M是線段EF的中點，證明：平面AMG⊥平面BDF；
（2）若N為線段EF上任意一點，設直線AN與平面ABF，平面BDF所成角分別是α，β，求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設AC∩BD=O，連結OF，OM，

由已知得AO=1，AF=1，

∴四邊形AFMO是正方形，∴AM⊥OF，

又∵正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，交線是CA，DB⊥CA，

∴DB⊥平面ACEF，又AM平面ACEF，∴DB⊥AM，

∵BD∩OF=O，∴AM⊥平面BDF，

∵AM平面AMG，∴平面AMG⊥平面BDF

（2）解：∵正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，交線是CA，EC⊥CA，

∴EC⊥平面ABCD，∴CD、CB、CE兩兩垂直，

分別以CD、CB、CE為x，y，z軸建立坐標系，

則平面ABF的法向量 =（0，1，0），

由（1）得平面BDF的法向量 = =（﹣ ，﹣ ，1），

由N為線段EF上任意一點，

設 = = =λ（ ），（λ∈[0，1]），

∴ =（（λ﹣1） ，（λ﹣1） ，1），

∴sinα= = = ，

∵λ∈[0，1]，∴ = =1﹣ ∈[0， ]．

【解析】（1）設AC∩BD=O，連結OF，OM，推導出AM⊥OF，DB⊥CA，從而DB⊥平面ACEF，進而DB⊥AM，AM⊥平面BDF，由此能證明平面AMG⊥平面BDF．（2）分別以CD、CB、CE為x，y，z軸建立坐標系，利用向量法能求出 的取值范圍．
【考點精析】利用平面與平面垂直的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．