Question

我們知道：若函數y=f(x)存在函數y=f^-1(x)，則原函數y=f(x)與其反函數y=f^-1(x)的圖像關于直線y=x對稱；若y=f(x)與y=f^-1(x)的圖像有公共點，則某些公共點也未必在直線y=x上，例如：f(x)=.

(Ⅰ)已知y=f(x)為定義域上的增函數，且y=f(x)與y=f^-1(x)的圖像有公共點，求證：y=f(x)與y=f^-1(x)的圖像的公共點在直線y=x上；

(Ⅱ)設f(x)=a^x(a＞1),試討論f(x)與f^-1(x)的圖像的公共點的個數.

Answer 1

解：(Ⅰ)設M(x₀,y₀)為y=f(x)與y=f^-1(x)的圖像的公共點則y₀=f(x₀)  (1)    y₀=f^-1(x₀)  (2)

由(2)有x₀=f(y₀)  (3) 

若x₀＜y₀,則由(1),(3)式有：f(y₀)＜f(x₀)又因為y=f(x)為增函數,則由f(y₀)＜f(x₀)有：y₀＜x₀,這與x₀＜y₀矛盾 

這說明x₀＜y₀不可能成立,同理可證y₀＜x₀也不可能成立所以x₀=y₀,即點M(x₀,y₀)在直線y=x上,也就是y=f(x)與y=f^-1(x)的圖像的公共點在直線y=x上

(Ⅱ)由(Ⅰ)知：當y=f(x)為增函數時,若y=f(x)與y=f^-1(x)的圖像有公共點,則這些公共點也即y=f(x)與y=x的公共點 

以下討論y=a^x與y=x的公共點的個數：考慮函數g(x)=f(x)-x,即g(x)=a^x-x(a＞1)g′(x)=a^x·lna-1,令a^x·lna-1≥0有a^x≥=log_ae,即x≥log_a(log_ae)由此知當x∈(log_a(log_ae),+∞)時,g′(x)＞0當x∈(-∞,log_a(log_ae))時,g′(x)＜0所以g(x)_min=g(log_a(log_ae))=a^loga(logae)-log_a(log_ae)=log_ae-log_a(log_ae) 

①當log_ae-log_a(log_ae)＞0即lna＞也就是a＞時,g(x)_min＞0

所以f(x)=a^x與y=x的圖像沒有公共點,因而f(x)與f^-1(x)的圖像沒有公共點

②當log_ae-log_a(log_ae)=0即a=時,f(x)與f^-1(x)的圖像有唯一公共點

③當log_ae-log_a(log_ae)＜0即1＜0＜時,f(x)與f^-1(x)的圖像有兩個公共點