Question

21、已知圓C：x²+y²-4x+2y+1=0，直線l：y=kx-1．
（1）當k為何值時直線l過圓心；
（2）是否存在直線l與圓C交于A，B兩點，且△ABC的面積為2？如果存在，求出直線l的方程，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知中圓C的一般方程x²+y²-4x+2y+1=0，我們可以求出圓C的標準方程，求出圓心坐標后，代入直線方程構造出一個關于k的一元一次方程，解方程即可得到答案．
（2）由（1）的結論我們易得圓C的半徑為2，又由△ABC的面積為2，則∠ACB=90°，求出滿足條件的k值，代入即可得到滿足條件 的直線方程．

解答：解：（1）圓C：x²+y²-4x+2y+1=0的一般方程為（x-2）²+（y+1）²=2
其中圓心為（2，-1）點
若直線l：y=kx-1過圓心
則-1=2k-1，解得K=0
即k=0時，直線l過圓心；
（2）∵圓C的半徑為2
故當△ABC的面積為2時，OA⊥OB
又∵直線l：y=kx-1恒過圓上一點（0，-1）
故當K=±1時滿足要求
此時直線方程為y=±x-1．

點評：本題考查的知識點是直線與圓相交的性質，其中求出圓的的標準方程是解答的關鍵．