Question

【題目】已知橢圓：（），過原點的兩條直線和分別與交于點、和、，得到平行四邊形.

（1）當為正方形時，求該正方形的面積.

（2）若直線和關于軸對稱，上任意一點到和的距離分別為和，當為定值時，求此時直線和的斜率及該定值.

（3）當為菱形，且圓內切于菱形時，求，滿足的關系式.

Answer 1

【答案】（1）；（2）和，；（3）.

【解析】

(1)直線和的方程為和利用，可得，根據對稱性，可得正方形的面積；

(2) 利用距離公式，結合為定值，即可證明結論；(3)設出切線的方程與橢圓方程聯立，分類討論，即可求滿足的關系式.

（1）因為為正方形，所以直線和的方程為和.

點、的坐標、為方程組的實數解，

將代入橢圓方程，解得.

根據對稱性，可得正方形的面積.

（2）由題設，不妨設直線的方程為（），于是直線的方程為.

設，于是有，又，，

，將代入上式，

得，

對于任意，上式為定值，必有，即，

因此，直線和的斜率分別為和，

此時.

（3）設與圓相切的切點坐標為，于是切線的方程為.

點、的坐標、為方程組的實數解.

① 當或時，均為正方形，橢圓均過點，于是有.

② 當且時，將代入，

整理得，

于是，

同理可得.

因為為菱形，所以，

得，即，

于是，

整理得，由，

得，即.

綜上，，滿足的關系式為.