Question

（2012•茂名二模）如圖所示，圓柱的高為2，PA是圓柱的母線，ABCD為矩形，AB=2，BC=4，E、F、G分別是線段PA，PD，CD的中點．
（1）求證：平面PDC⊥平面PAD；
（2）求證：PB∥面EFG；
（3）在線段BC上是否存在一點M，使得D到平面PAM的距離為2？若存在，求出BM；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）證明平面PDC⊥平面PAD，只需證明CD⊥平面PAD即可；
（2）取AB中點H，連接GH，HE，證明E，F，G，H四點共面，再證明EH∥PB，利用線面平行的判定，即可證明PB∥面EFG；（3）假設在BC上存在一點M，使得點D到平面PAM的距離為2，則以△PAM為底D為頂點的三棱錐的高為2，連接AM，則AM=

AB2+BM2

=

4+BM2

，利用等體積V_D-PAM=V_P-AMD，即可求得結論．

解答：（1）證明：∵PA是圓柱的母線，∴PA⊥圓柱的底面．…（1分）
∵CD?圓柱的底面，∴PA⊥CD
又∵ABCD為矩形，∴CD⊥AD
而AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD              …（3分）
又CD?平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD．  …（4分）
（2）證明：取AB中點H，連接GH，HE，
∵E，F，G分別是線段PA、PD、CD的中點，
∴GH∥AD∥EF，
∴E，F，G，H四點共面．           …（6分）
又H為AB中點，∴EH∥PB．        …（7分）
又EH?面EFG，PB?平面EFG，
∴PB∥面EFG．                     …（9分）
（3）解：假設在BC上存在一點M，使得點D到平面PAM的距離為2，則以△PAM為底D為頂點的三棱錐的高為2，
連接AM，則AM=

AB2+BM2

=

4+BM2

，
由（2）知PA⊥AM，∴S_△PAM=

1

2

PA•AM=

1

2

×2×

4+BM2

=

4+BM2

∴V_D-PAM=

1

3

S△PAM×2=

1

3

×

4+BM2

×2=

2

3

4+BM2

…（11分）
∵S_△AMD=

1

2

AD×AB=

1

2

×4×2=4
∴V_P-AMD=

1

3

S_△AMD×PA=

1

3

×4×2=

8

3

   …（12分）
∵V_D-PAM=V_P-AMD
∴

2

3

4+BM2

=

8

3

   
解得：BM=2

3

∵2

3

＜4
∴在BC上存在一點M，當BM=2

3

使得點D到平面PAM的距離為2…（14分）

點評：本題考查面面垂直，考查線面垂直，考查三棱錐體積的計算，解題的關鍵是掌握面面、線面垂直的判定定理，正確計算三棱錐的體積，屬于中檔題．