Question

求過點（0，2）的直線被橢圓x²+2y²=2所截弦的中點的軌跡方程．

Answer 1

分析：設直線方程為y=kx+2，把它代入x²+2y²=2，得（2k²+1）x²+8kx+6=0，由此入手可以求出所截弦的中點的軌跡方程．

解答：解：設直線方程為y=kx+2，
把它代入x²+2y²=2，
整理得（2k²+1）x²+8kx+6=0．
要使直線和橢圓有兩個不同交點，則△＞0，即k＜-

6

2

或k＞

6

2

．
設直線與橢圓兩個交點為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），中點坐標為C（x，y），則
x=

x1+x2

2

=

-4k

2k2+1

，
y=

-4k2

2k2+1

+2=

2

2k2+1

．
（k＜-

6

2

或k＞

6

2

），
從參數方程x=

-4k

2k2+1

，y=

2

2k2+1

消去k得x²+2（y-1）²=2，
且|x|＜

6

2

，0＜y＜

1

2

．

點評：本題考查圓錐曲線的基本知識，解題時要認真審題，仔細解答．