Question

（14分）如圖，已知拋物線C₁： y=x², 與圓C₂： x²+(y+1)²="1," 過y軸上一點A（0, a）（a>0）作圓C₂的切線AD，切點為D（x₀, y₀）.

（1）證明：(a+1)(y₀+1)=1
（2）若切線AD交拋物線C₁于E，且E為AD的中點，求點A縱坐標a.

Answer 1

（1）過D（x₀, y₀）的切線方程x₀x+(y₀+1)(y+1)=1  (*)
由（*）過點A（0, a）， 將點A坐標代入（*）得(y₀+1)(a+1)=1（2）

解析試題分析：（1）過D（x₀, y₀）的切線方程x₀x+(y₀+1)(y+1)=1  (*)
由（*）過點A（0, a）， 將點A坐標代入（*）得(y₀+1)(a+1)="1," 即證
（2）由于D（x₀, y₀）,A(0， a) ∴AD的中點E（）點E在拋物線y=x²上

∴ 
聯立消去x₀, y₀得2a³+a²－2a=0   即a(2a²+a－2)=0(a>0)
解得：a=
考點：直線與圓相切，直線與拋物線相交的位置關系
點評：第一問還可先由A,D兩點寫出直線方程，然后利用圓心到直線距離等于圓的半徑列關系式整理化簡