Question

已知f（x）=ax²+2bx+4c（a，b，c∈R）
（1）若a+c=0，f（x）在[-2，2]上的最大值為，最小值為，求證：
（2）當時，對于給定的負數a，有一個最大的正數m（a），使得x∈[0，m（a）]時都有|f（x）|≤5，問a為何值時，m（a）最大，并求這個最大值m（a），證明你的結論．
（3）若f（x）同時滿足下列條件：①a＞0；②當|x|≤2時，有|f（x）|≤2；③當|x|≤1時，f（x）最大值為2，求f（x）的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用反證法證明，若a等于0，得到c也等于0，所以f（x）等于2bx，得到f（2）與f（-2）互為相反數，不合題意；若a不為0，由a+c=0，解得c=-a，代入f（x）中，求出二次函數的對稱軸，假設對稱軸小于-2或大于2，即可得到對稱軸在區間的左外側或右外側，得到f（x）為單調函數，函數的最值在x=2，-2取到，把2和-2代入得到最值互為相反數，不合題意，所以假設錯誤，綜上，得證；
（2）把b與c的值代入f（x）中，配方得到頂點式，由a小于0，得到函數有最大值，表示出這個最大值，當最大值大于5時，求出此時a的范圍，又最大值小于-，M（a）是方程ax²+8x+3=5的較小根，利用求根公式求出M（a）即可判斷出M（a）小于；當最大值小于等于5時，求出此時a的范圍，最大值大于-，M（a）是方程ax²+8x+3=-5的較大根，根據求根公式求出M（a）即可判斷M（a）小于等于，又大于，即可得到M（a）的最大值；
（3）求出f（x）的導函數，由a大于0，求出函數有最大值讓其等于2，得到a與b的關系式，由-2≤f（0）=4a=4a+4b+4c-4（a+b）=f（2）-4≤2-4=-2，得c的值，又因為|f（x）|≤2，所以f（x）≥-2=f（0），即可得到x=0時，函數取得最小值，表示出對稱軸讓其等于0，即可求得b的值，進而求出a的值，把a，b和c的值代入即可確定出f（x）的解析式．
解答：解：（1）若a=0，則c=0，f（x）=2bx，f（2）=4b，f（-2）=-4b，不合題意；
若a≠0時，由a+c=0，得f（x）=ax²+2bx-4a，
對稱軸為x=-，假設∈（-∞，-2）∪（2，+∞），
區間[-2，2]在對稱軸的左外側或右外側，所以f（x）在[-2，2]上是單調函數，
則f（x）的最值必在x=2，x=-2處取到，
f（2）=4b，f（-2）=-4b，f（2）+f（-2）=0≠+（-）=，
所以假設錯誤，則||≤2，
綜上，得到||≤2；
（2）

把b=4，c=代入得：f（x）=ax²+8x+3=a+3-，
∵a＜0，所以f（x）_max=3-
①當3-＞5，即-8＜a＜0時，
M（a）滿足：-8＜a＜0且0＜M（a）＜-，
所以M（a）是方程ax²+8x+3=5的較小根，
則M（a）==＜=；
②當3-≤5即a≤-8時，此時M（a）≥-，
所以M（a）是ax²+8x+3=-5的較大根，
則M（a）==≤=，
當且經當a=-8時取等號，
由于＞，因此當且經當a=-8時，M（a）取最大值；
（3）求得f′（x）=2ax+2b，
∵a＞0，∴f（x）_max=2a+2b=2，即a+b=1，
則-2≤f（0）=4a=4a+4b+4c-4（a+b）=f（2）-4≤2-4=-2，
∴4c=-2，解得c=-，
又∵|f（x）|≤2，所以f（x）≥-2=f（0）
∴f（x）在x=0處取得最小值，且0∈（-2，2），
∴-=0，解得b=0，從而a=1，
∴f（x）=x²-2．
點評：此題考查學生會利用反證法進行證明，考查了數形結合的數學思想，會求二次函數在閉區間上的最值，掌握二次函數的圖象與性質，是一道綜合題．