Question

如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD四邊長為1的菱形，∠ABC=

π

4

，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點，N為BC的中點．
（Ⅰ）證明：直線MN∥平面OCD；
（Ⅱ）求異面直線AB與MD所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角A-OD-C的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取OB中點E，連接ME，NE，證明平面MNE∥平面OCD，即可得到MN∥平面OCD；
（Ⅱ）根據CP∥AB，可知∠MDC為異面直線AB與MD所成的角（或其補角），從而可求；
（Ⅲ）建立空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，求出平面OCD、OAD的法向量，利用向量的數量積公式，即可求得二面角A-OD-C的余弦值．

解答：（Ⅰ）證明：取OB中點E，連接ME，NE
∵ME∥AB，AB∥CD，∴ME∥CD
又∵NE∥OC，∴平面MNE∥平面OCD
∵MN?平面MNE
∴MN∥平面OCD
（Ⅱ）解：∵CP∥AB
∴∠MDC為異面直線AB與MD所成的角（或其補角）
作AP⊥CD于P，連接MP
∵OA⊥平面ABCD，CD⊥MP，
∵∠ADP=

π

4

，∴DP=

2

2

，MD=

2

，
∴AB與MD所成角的大小為

π

3

（Ⅲ）解：分別以AB，AP，AO所在直線為x，y，z軸建立坐標系，則A（0，0，0），O（0，0，2），D（-

2

2

，

2

2

，0），P（0，

2

2

，0），
∴

OP

=（0，

2

2

，-2），

OD

=（-

2

2

，

2

2

，-2），

AO

=（0，0，2），
設平面OCD的法向量為

n

=(x，y，z)，則

n

•

OP

=0，

n

•

OD

=0
∴

2

2

y-2z=0，-

2

2

x+

2

2

y-2z=0
取z=

2

，解得

n

=（0，4，

2

）
設平面OAD的法向量為

m

=(x′，y′，z′)，則

m

•

AO

=0，

m

•

OD

=0
∴2z′=0，-

2

2

x′+

2

2

y′-2z′=0
取y′=1，則x′=1，∴

m

=(1，1，0)
∴二面角A-OD-C的余弦值為

m • n

| m || n |

=

4

20 × 2

=

10

5

點評：本題考查線面平行，考查線線角，考查面面角，解題的關鍵是掌握線面平行的判定定理，正確利用空間向量求面面角．