Question

【題目】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若 =λ +μ ，則λ+μ的最大值為（ ）
A.3
B.2
C.
D.2

Answer 1

【答案】A
【解析】解：如圖：以A為原點，以AB，AD所在的直線為x，y軸建立如圖所示的坐標系，

則A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），
∵動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上，
設圓的半徑為r，
∵BC=2，CD=1，
∴BD= =
∴ BCCD= BDr，
∴r= ，
∴圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣2）2= ，
設點P的坐標為（ cosθ+1， sinθ+2），
∵ =λ +μ ，
∴（ cosθ+1， sinθ﹣2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），
∴ cosθ+1=λ， sinθ+2=2μ，
∴λ+μ= cosθ+ sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，
∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，
∴1≤λ+μ≤3，
故λ+μ的最大值為3，
故選：A