Question

已知f（x+1）是定義域為R的偶函數，且x≥1時，f(x)=(

1

2

)x-log2x，若a∈（1，2），則下列不正確的是（　　）

• A．f(

  1+a

  2

  )＜f(

  a

  )
• B．f（a²+1）＜f（-3）
• C．|f（a）|＜|f（0）|
• D．f（a²-a+1）＜f（a）

Answer 1

分析：根據條件得到對稱性和函數的單調性，然后畫出滿足條件的圖象，結合圖象進行解題即可．

解答：解：∵f（x+1）是定義域為R的偶函數∴f（x）關于x=1對稱即f（x+1）=f（-x+1）
∵x≥1時，f(x)=(

1

2

)x-log2x，
∴f（x）在[1，+∞）上單調遞減
根據f（x）關于x=1對稱可知f（x）在（-∞，1）上單調遞增
∴f（1）=

1

2

，f（2）=-

3

4

結合圖象可知|f（a）|＜|f（0）|
∵1＜

1+a

2

＜

a

∴f(

1+a

2

)＜f(

a

)
∵a²-a+1＞a＞1
∴f（a²-a+1）＜f（a）
∵1＜a²+1＜5
∴f（a²+1）＞f（5）=f（-3）故選項B不正確
故選B．

點評：本題主要考查了抽象函數的應用，同時考查了函數奇偶性和單調性，同時考查了數形結合的方法，屬于中檔題．