Question

（本題滿分12分如圖，四邊形為矩形，且，，為上的動點。

（1） 當為的中點時，求證：；

（2） 設，在線段上存在這樣的點E，使得二面角的平面角大小為。試確定點E的位置。

 

Answer 1

【答案】

方法一：（1） 證明：當為的中點時，，

從而為等腰直角三角形，

則，同理可得，∴，于是，………1分

又，且，∴，。………2分

∴，又，∴。……………………4分

（也可以利用三垂線定理證明，但必需指明三垂線定理）

（還可以分別算出PE，PD，DE三條邊的長度，再利用勾股定理的逆定理得證，也給滿分）（2） 如圖過作于，連，則，………………………6分

∴為二面角的平面角．   ……………8分

設，則．

……………9分

于是　………………………………10分

，有解之得。

點在線段BC上距B點的處。………………………12分

方法二、向量方法．以為原點，所在直線為 軸，建立空間直角坐標系，如圖………………………………1分

（1）不妨設，則，

從而，………………………2分

于是，

所以所以 ………………………………4分

（2）設，則，

則  ………………………………………………6分

易知向量為平面的一個法向量．設平面的法向量為，

則應有 即解之得，令則，，

從而，………………………………………………………………10分

依題意，即，

解之得（舍去），………………………………………………11分

所以點在線段BC上距B點的處。………………………………………………12分

【解析】略