Question

如圖，過橢圓中心的直線l與經橢圓長短軸端點的兩條切線l₁，l₂分別交于點A、B，O是l₁與l₂的交點，△AOB被橢圓分成四部分，若這四部分圖形的面積滿足S₁+S₃=S₂+S₄，則直線l有（ ）

A．0條
B．1條
C．2條
D．3條

Answer 1

【答案】分析：由圖可知，當直線繞中心從豎直方向逆時針旋轉時，S₂-S₃的差是定值；S₁-S₄的差單調減小，當減小到S₁-S₄=S₂-S₃時，滿足題目要求，繼續減小時，不會再滿足．所以這樣的直線有且僅有一條．
解答：解：由圖可知，當直線繞中心從豎直方向逆時針旋轉時，
S₂的值恒為橢圓面積的一半，
S₃的值也不變，
即S₂-S₃的差是定值；
而S₁單調減小，
S₄單調增大，
則S₁-S₄的差單調減小，
當減小到S₁-S₄=S₂-S₃時，
滿足題目要求，繼續減小時，不會再滿足．
所以這樣的直線有且僅有一條．
故選B．
點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查數形結合思想，化歸與轉化思想．