Question

數(shù)列{a_n}滿足a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n∈N^*，n≥2），且a₃=25．
（1）求a₁，a₂
（2）是否存在實數(shù)t，使得b_n=

1

2n

（a_n+t）（n∈N^*），且{b_n}為等差數(shù)列？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）在a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n∈N^*，n≥2）中，令n=3求出a₂，令n=2求出a₁，
（2）設(shè)存在t滿足條件，則由{b_n}為等差數(shù)列，設(shè)

1

2n

（a_n+t）-

1

2n-1

（a_n-1+t）=d，整理得出數(shù)列的遞推關(guān)系式，與a_n=2a_n-1+2ⁿ-1比較作答．

解答：解：（1）a₃=2a₂+2³-1=25，∴a₂=9．
a₂=2a₁+2²-1=9，∴a₁=7
（2）設(shè)存在t滿足條件，則由{b_n}為等差數(shù)列，設(shè)

1

2n

（a_n+t）-

1

2n-1

（a_n-1+t）=d，則

1

2n

a_n-

1

2n-1

a_n-1-

t

2n

=d．整理得出a_n-2a_n-1-t=2ⁿd，而a_n-2a_n-1+1=2ⁿ，
所以d=1，t=-1．

點評：本題考查數(shù)列遞推公式的靈活應用，考查邏輯推理，運算求解能力．