Question

已知函數f（x）=lnx，g（x）=2x-2（x≥1）．
（Ⅰ）試判斷F（x）=（x²+1）f（x）-g（x）在定義域上的單調性；
（Ⅱ）當0＜a＜b時，求證：f（b）-f（a）＞

2a(b-a)

a2+b2

．

Answer 1

分析：（I）根據已知求出F（x）的解析式及其導函數的解析式，分析導函數的符號，進而可判斷出函數的單調性；
（II）結合（I）中函數的單調性，可得，（x²+1）lnx-（2x-2）＞0，即lnx＞

2x-2

x2+1

，當0＜a＜b時，令x=

b

a

，代入可得結論．

解答：解：（I）∵函數f（x）=lnx，g（x）=2x-2（x≥1）．
F（x）=（x²+1）f（x）-g（x）=（x²+1）lnx-（2x-2）的定義域為[1，+∞）
∴F′（x）=2xlnx+

x2+1

x

-2=2xlnx+

(x-1)2

x

當x≥1時，F′（x）≥0恒成立
故函數F（x）=（x²+1）lnx-（2x-2）在定義域[1，+∞）上為增函數
（II）由（1）知，當x＞1時，F（x）＞F（1）=0
即當x＞1時，（x²+1）lnx-（2x-2）＞0

∴

lnx＞

2x-2

x2+1

…①
令x=

b

a

，當0＜a＜b時，

b

a

＞1
由①可得ln

b

a

=lnb-lna＞

2× b a -2

( b a )2+1

=

2a(b-a)

a2+b2

∴當0＜a＜b時，f（b）-f（a）＞

2a(b-a)

a2+b2

．

點評：本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性，及函數單調性的應用，其中（I）的關鍵是熟練掌握導數法求函數單調性的步驟，（II）的關鍵是得到lnx＞

2x-2

x2+1

．