Question

己知函數，其中

（1）求函數的單調區間；

（2）若直線x-y-l=0是曲線y=的切線，求實數的值；

（3）設，求g(x)在區間上的最大值（其中e為自然對數的底數）

 

Answer 1

（1）的單調遞減區間為，單調遞增區間為；（2）2

【解析】

試題分析：（1）先求導函數，令，解不等式并和定義域求交集，得遞增區間；令，解不等式并和定義域求交集，得遞減區間；（2）本題考查導數的幾何意義，該類問題的關鍵是設切點，利用切點在曲線上，切點在切線上，以及聯立求參數的值；（3）求得，令，得，討論根與定義域的位置關系，當和時，函數在定義域，利用單調性求最值，當時，將定義域分段，分別討論導函數符號，判斷函數大致圖象，并求得最值．

試題解析：（1），（）， 1分

在區間和上，；在區間上，．

所以，的單調遞減區間是和，單調遞增區間是． 3分

（2）設切點坐標為，則

解得，． 6分

（3），則， 7分

解，得，

當，即時，在區間上，為遞增函數，

所以最大值為． 8分

當，即時，在區間上，為遞減函數，

所以最大值為． 9分

當，即時，的最大值為和中較大者；

，解得，

所以，時，最大值為，

時，最大值為． 11分

綜上所述，當時，最大值為，

當時，的最大值為． 12分

考點：１、導數在單調性上的應用；2、利用導數求函數的極值、最值；3、導數的幾何意義．