Question

（本小題滿分14分）已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2， 0），實軸長為．

(Ⅰ)求雙曲線C的方程；（）

(Ⅱ)若直線l：與雙曲線C的左支交于A、B兩個不同點，求的取值范圍；

(Ⅲ)在（Ⅱ）的條件下，線段AB的垂直平分線l0與y軸交于M（0，b），求b的取值范圍．

Answer 1

【解】　(Ⅰ)設雙曲線方程為－＝1(a＞0，b＞0)，

由已知，得a＝，c＝2，b2＝c2－a2＝1，故雙曲線方程為－y2＝1. ……2分

20090318

(Ⅱ)設A(xA，yA)，B(xB，yB )，將y＝kx＋代入－y2＝1，得(1－3k2)x2－6kx－9＝0．…………………3分

由題意知，…………………6分解得，＜k＜1．

∴當＜k＜1時，l與雙曲線左支有兩個交點．…………………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）得：xA＋xB ＝，∴yA＋yB＝(kxA＋)＋(kxB＋)＝k(xA＋xB)＋2＝．

∴AB中點P的坐標為（，）．…………………10分

設l0方程為：y＝－x＋b，將P點坐標代入l0方程，得b＝．

∵＜k＜1，∴－2＜1－3k2＜0，∴b<－2．…………………13分

∴b的取值范圍為：(－¥，－2)．…………………14分