Question

（2012•楊浦區(qū)一模）已知在正四棱錐P-ABCD中（如圖），高為1cm，其體積為4cm³，求異面直線PA與CD所成角的大小．

Answer 1

分析：連接AC、BD交于O點(diǎn)，連接PO．根據(jù)錐體體積公式，結(jié)合題中數(shù)據(jù)可算出正四棱錐的底面邊長，從而用勾股定理算出PA長，然后在△PAB中，利用余弦定理計(jì)算出∠PAB的余弦值，因?yàn)镃D∥AB，所以這個(gè)余弦值就是PA與CD所成角θ的余弦值，從而得到異面直線PA與CD所成角的大小．

解答：解：連接AC、BD交于O點(diǎn)，連接PO，則PO就是正四棱錐的高
設(shè)異面直線PA與CD所成角的大小θ，底邊長為a，
則依題意得，正四棱錐P-ABCD體積為V=

1

3

a²×1=4      …（4分）
∴a=2

3

，可得AC=2

6

Rt△PAO中，OA=

6

，PO=1
∴PA=

12+( 6 )2

=

7

        …（7分）
因?yàn)镃D∥AB，所以直線PA與AB所成的銳角就是PA與CD所成角θ．     …（9分）
△PAB中，PA=PB=

7

，AB=2

3

，
∴cos∠PAB=

7+12-7

2× 7 ×2 3

=

21

7

，即cosθ=

21

7

，
所以PA與CD所成角θ=arccos

21

7

．        …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出一個(gè)正四面體，叫我們求異面直線所成角，著重考查了正棱錐的性質(zhì)、余弦定理和異面直線所成角的求法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．