Question

有一塊半徑為R，中心角為45°的扇形鐵皮材料，為了獲取面積最大的矩形鐵皮，工人師傅常讓矩形的一邊在扇形的半徑上，然后作其最大內接矩形，試問: 工人師傅是怎樣選擇矩形的四點的？并求出最大面積值.

Answer 1

矩形MNPQ為面積最大的矩形，面積最大值為R².

如下圖，扇形AOB的內接矩形是MNPQ，連OP，則OP=R，設∠AOP=θ，則∠
QOP=45°－θ，NP=Rsinθ,在△PQO中，，
∴PQ=Rsin(45°－θ).
S_矩形MNPQ=QP·NP=R²sinθsin(45°－θ)
=R²·［cos(2θ－45°)－］≤R²，
當且僅當cos(2θ－45°)=1,即θ=22.5°時，S_矩形MNPQ的值最大且最大值為R².
工人師傅是這樣選點的，記扇形為AOB，以扇形一半徑OA為一邊，在扇形上作角AOP且使∠AOP=22.5°，P為邊與扇形弧的交點，自P作PN⊥OA于N，PQ∥OA交OB于Q，并作OM⊥OA于M，則矩形MNPQ為面積最大的矩形，面積最大值為R².