Question

【題目】如圖，在直角梯形中， ， ， ．直角梯形可以通過直角梯形以直線為軸旋轉得到，且平面平面．

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（I）求證： ．

（II）求直線和平面所成角的正弦值．

（III）設為的中點， ， 分別為線段， 上的點（都不與點重合）．若直線平面，求的長．

Answer 1

【答案】（I）見解析；（II）；（III）.

【解析】試題分析：（I）由面面垂直定理得面，由線面垂直定理即可得出.

（II）以A為原點建立空間直角坐標系，設平面的一個法向量為，令， ，即可求出直線和平面所成角的正弦值．

（III）設，由，表示， ，

由，，求得，，即可求出MH的長.

試題解析：（I）∵，

∴，

∵平面平面且平面平面，

∴面，

∵平面，

∴．

（II）由（I）知， 平面，

∴， ，

∵，

， ， 兩兩垂直，

如圖，以為原點建立空間直角坐標系，

∵，

，

，

，

，

，

．

設平面的一個法向量為，

∴，

∴，

令， ，

設直線與平面所成角為，

∵，

，

．

（III）在以為原點的空間直角坐標系中，

， ，

， ，

．

設，

，

∵，

∴，

，

，

若平面，

則，即，

，解得，

∴，

．

點睛:高考對空間向量與立體幾何的考查主要體現在以下幾個方面：①求異面直線所成的角，關鍵是轉化為兩直線的方向向量的夾角；②求直線與平面所成的角，關鍵是轉化為直線的方向向量和平面的法向量的夾角；③求二面角，關鍵是轉化為兩平面的法向量的夾角.建立空間直角坐標系和表示出所需點的坐標是解題的關鍵.