Question

已知函數f（x）=-2x²+（a+3）x+1-2a，g（x）=x（1-2x）+a，其中a∈R．
（1）若函數f（x）是偶函數，求函數f（x）在區間[-1，3]上的最小值；
（2）用函數的單調性的定義證明：當a≤1時，f（x）在區間[1，+∞）上為減函數；
（3）求對于任意a∈[-3，+∞），函數f（x）的圖象恒在函數g（x）圖象上方的實數x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數為偶函數，則有f（-x）=f（x）恒成立，再用待定系數法求解，明確其單調性，再求函數最值．
（2）欲證明函數f（x）在區間[1，+∞）上是增函數，即要證明如果對于屬于[1，+∞）區間上的任意兩個自變量的值x₁、x₂，當x₁＜x₂時都有f（x₁）＞f（x₂）．那么就說f（x）在 這個區間上是減函數．
（3）首先由題意得出（x-3）a+2x+1＞0在a∈[-3，+∞）上恒成立，轉化成求函數h（a）=（x-3）a+2x+1的最小值，求出x的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數f（x）是偶函數，∴f（-x）=f（x），x∈R恒成立，
即：-2x²+（a+3）x+1-2a=-2x²-（a+3）x+1-2a
∴a=-3
∴f（x）=-2x²+7；易知其對稱軸為：x=0
∴當x=0時，f（x）_max=7，當x=3時，f（x）_min=-11；
（2）當a≤1時，f（x）=-2x²+（a+3）x+1-2a，下面證明函數f（x）在區間[1，+∞）上是減函數．
設x₁＞x₂≥1，則f（x₁）-f（x₂）=）=-2x₁²+（a+3）x₁+1-2a-（-2x₂²+（a+3）x₂+1-2a，）
=-2（x₁²-x₂²）+（a+3）（x₁-x₂）
=（x₁-x₂）[-2（x₁+x₂）+a+3]
∵x₁＞x₂≥1，則x₁-x₂＞0，且-2（x₁+x₂）＜-4，
∵a≤1，∴a+3≤4，∴-2（x₁+x₂）+a+3＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故函數f（x）在區間[1，+∞）上是減函數．
（3）對于任意a∈[-3，+∞），函數f（x）的圖象恒在函數g（x）圖象上方，
即-2x²+（a+3）x+1-2a＞x（1-2x）+a在a∈[-3，+∞）上恒成立，
即（x-3）a+2x+1＞0在a∈[-3，+∞）上恒成立，
設h（a）=（x-3）a+2x+1，
∴

x-3＞0 h(-3)＞0

，即

x-3＞0 -3(x-3)+2x+1＞0

，
解得3＜x＜10，
∴實數x的取值范圍為（3，10）．

點評：本題考查了函數的單調性、奇偶性等知識，綜合性強，第三問是一次函數的斜率與單調性的關系，同時考查運算能力，屬中檔題．