Question

(本小題滿分14分)

已知數列，，其中，數列的前項和，數列滿足，．

（Ⅰ）求數列，的通項公式；

（Ⅱ）是否存在自然數，使得對于任意，，有恒成立？若存在，求出的最小值；

（Ⅲ）若數列滿足當是偶數時，求數列的前項和．

 

 

 

Answer 1

（本小題滿分14分）

解：（Ⅰ）因為，

當時，．

所以．

所以．

即．

又，

所以

．……………………………………………………………………3分

當時，上式成立

因為，，

所以是首項為，公比為的等比數列，故．…………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．

則．…………………7分

假設存在自然數，使得對于任意，，有恒成立，

即恒成立．

由，解得．

所以存在自然數，使得對于任意，，有恒成立．此時的最小值為．……………………………………………………10分

（Ⅲ）當是奇數時，

  

 

   ．……………………………………………………12分

當是偶數時，

  

   ．

因此…………………………14分