Question

設命題p：實數x滿足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，命題q：實數x滿足

x2-x-6≤0 x2+2x-8＞0

（1）若a=

5

2

，若p∧q假，p∨q真，求實數x的取值范圍；
（2）￢p是￢q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=

5

2

時，可得p：

5

2

＜x＜

15

2

，由

x2-x-6≤0 x2+2x-8＞0

可求q：2＜x≤3，結合已知可知p．q一真一假，可求
（2）?p是?q的充分不必要條件，可知?p⇒?q且?q推不出?p．結合集合的包含關系即可求解

解答：解：（1）由x²-4ax+3a²＜0得（x-3a）（x-a）＜0．
又a＞0，所以a＜x＜3a，
當a=

5

2

時，

5

2

＜x＜

15

2

即p為真命題時，實數x的取值范圍是

5

2

＜x＜

15

2

由

x2-x-6≤0 x2+2x-8＞0

可得

-2≤x≤3 x＜-4或x＞2

即2＜x≤3．所以q為真時實數x的取值范圍是2＜x≤3．所以實數x的取值范圍是(2，

5

2

)∪(3，

15

2

)
（2）?p是?q的充分不必要條件，
即?p⇒?q且?q推不出?p．
設A={x|x≤a或x≥3a}，B={x|x≤2或x＞3}，
則A?B．所以1＜a≤2．所以實數a的取值范圍是（1，2]．

點評：本題主要考查了復合命題的真假關系的應用及充分必要條件與集合之間包含關系的相互轉化，解題的關鍵是靈活利用基本知識