Question

已知函數
（I）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若對任意x₁∈（0，2），總存在x₂∈[1，2]使f（x₁）≥g（x₂），求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）函數的定義域為（0，+∞），  = ，
由f′（x）＞0得，1＜x＜3，
由f′（x）＜0得，0＜x＜1或x＞3，
∴函數f（x）的單調遞增區間為（1，3）；
單調遞減區間為（0，1），（3，+∞）；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知函數f（x）在區間（0，1）上遞減，在區間（1，2）上遞增，
∴函數f（x）在區間（0，2）上的最小值為f（1）= ，
由于“對任意x₁∈（0，2），總存在x₂∈[1，2]使f（x₁）≥g（x₂）”
等價于“g（x）在區間[1，2]上的最小值不大于f（x）在區間（0，2）上的最小值 ”
即g（x）_min≤ ，（*）
又g（x）=x²﹣2mx+4，x∈[1，2]，
∴①當m＜1時，g（x）_min=g（1）=5﹣2m＞0與（*）式矛盾，
②當m∈[1，2]時，g（x）_min=4﹣m²≥0，與（*）式矛盾，
③當m＞2時，g（x）_min=g（2）=8﹣4m≤ ，解得m ，
綜上知，實數m的取值范圍是[ ）．