Question

如圖①，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BA=BC=2，∠ABC=90°，異面直線A₁B與AC成60°的角，點O、E分別是棱AC和BB₁的中點，點F是棱B₁C₁上的動點．
（Ⅰ）求異面直線A₁E與OF所角的大小；
（Ⅱ）求二面角B₁-A₁C-C₁的大小；
（Ⅲ）設O₁為A₁C₁的中點，如圖②，將此直三棱柱ABC-A₁B₁C₁繞直線O₁O旋轉一周，線段BC₁旋轉后所得圖形所得必定是

 

．（只需填上你認為正確的選項，不必證明）

Answer 1

分析：（I）以B為坐標原點，以BA，BC，BB₁所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，寫出要用的點的坐標，設出棱錐的高，根據異面直線A₁B與AC成60°的角，寫出兩條異面直線的夾角，求出高，再求出異面直線所成的角．
（II）根據建立的坐標系，看出平面的一個法向量，設出另一個平面的法向量，根據法向量與平面上的向量數量積等于0，求出一個法向量，根據兩個向量的夾角做出二面角的值．
（III）將此直三棱柱補形為正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，如圖2．在旋轉過程中，線段BC₁任意一點到軸OO₁的距離保持不變，設BC₁的中點為M，OO₁的中點為O₂，則O₂M是異面直線OO₁與BC₁的公垂線段，建立空間直角坐標系，不失一般性，設點N在線段MC₁上，并設正方體邊長為2，MN=t，PN=d．做出結果

解答：解：如圖1，以B為坐標原點，以BA，BC，BB₁所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，則A（2，0，0），C（0，2，0），0（1，1，0）

（Ⅰ）設棱錐的高為h，則A₁（2，0，h），C（0，2，0），

CA

=(2，-2，0)．
∴cos＜?

BA1

，

CA

＞=

BA1 • CA

| BA1 |•| CA |

，
即cos60°=

4

2 2 • 4+h2

，解得h=2．
∴E（0，0，1），A₁（202），

A1E

=(-2，0，-1)．
∵F為棱B₁C₁上的動點，故可設f（0，y，2）．
∴

OF

=(-1，y-1，2)．
又

A1E

•

OF

=(-2，0，-1)•(-1，y-1，2)=0
∴

A1E

⊥

OF

，即異面直線A₁E與OF成角為90°
（Ⅱ）易知平面A₁CC₁的一個法向量為

BO

=（1，1，0），設平面A₁B₁C的一個法向量為

n

=（x，y，1），則

n

=(x，y，1)

n

•

A1C

=（x，y，1）•（-2，2，-2）=-2x+2y-2=0，…①

n

•

A1C

=（x，y，1）•（-2，0，0）=-2x=0．…②
由①、②，得

n

=(0，1，1．)．
∴cos＜

n

，

BO

＞=

n • BO

| n |•| BO |

=

1

2 • 2

=

1

2

，
∴＜

n

，

BO

＞=60°．
即二面角B₁-A₁C-C₁的大小為60°．
（Ⅲ）將此直三棱柱補形為正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，如圖2．在旋轉過程中，線段BC₁任意一點到軸OO₁的距離保持不變，
設BC₁的中點為M，OO₁的中點為O₂，則O₂M是異面直線OO₁與BC₁的公垂線段．
設N是線段BC₁上任意一點，N在軸OO₁上的射影為P．
以正方體的中心O₂，主點建立空間直角坐標系，不失一般性，設點N在線段MC₁上，并設正方體邊長為2，MN=t，PN=d．
∵＜

OO1

，

BC1

＞=45°，
∴N(-

2

2

t，1，

2

2

t)，P(O，O，

2

2

t)．
在Rt△OPN中，由O₂P₂+PN₂=O₂N₂，得
d²+

1

2

t2=

1

2

t2+1+

1

2

t2，∴d2-

t2

2

=1．
即d與t之間滿足雙曲線關系，故選D．

點評：本題考查利用空間向量解決幾何體中的夾角和距離的問題，本題解題的關鍵是建立合適的坐標系，把邏輯性很強的理論推導轉化成數字的運算，降低了題目的難度．