Question

（2010•合肥模擬）2010年上海世博會中國館的建筑外觀以“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉，富庶百姓”為主題，代表中國文化的精神與氣質．如果將中國館的下方架空層看成一個長方體，上方看成一個四棱臺，則其直觀圖、主視圖和側視圖近似如下圖（精確到10m）．（臺體的體積公式：V臺=

1

3

(S+

SS′

+S′)•h）
（1）畫出幾何體的俯視圖；
（2）求證：EA'⊥BD
（3）計算該幾何體的體積．

Answer 1

分析：（1）根據已知中的直觀圖和主（側）視圖，可以可以判斷該幾何體的俯視圖是一個邊長140米的大正方形（能看到故邊為實線），和一個邊長為70米的小正方形（不能看到故邊為虛線）組成，畫出上部棱臺的側棱（不能看到故邊為虛線）后，可得幾何體的俯視圖；
（2）由三視圖可以看出上部為倒立的正四棱臺，由主（側）視圖，可得B'D'⊥面A'C'GE，進而由線面垂直的性質可得B'D'⊥EA'，由BD∥B'D'可得EA'⊥BD
（3）由棱臺的上下底面分別是邊長140米的大正方形和邊長為70米的小正方形，高為60米，棱柱的底面為邊長為70米的小正方形，高為30米，分別代入棱臺體積公式和棱柱體積公式，進而得到幾何體的體積．

解答：解：（1）俯視圖如圖所示：
（2）證明，由三視圖可以看出上部為倒立的正四棱臺
由三視圖可得，B'D'⊥面A'C'GE
所以B'D'⊥EA'
而BD∥B'D'
所以BD⊥EA'
（3）下部的體積為：V_下=70²×30=147000
上部分的上底面積為：S=140²=19600
所以上部分的體積為：V上=

1

3

•60•(4900+

4900•19600

+19600)=686000
所以總體積為，V=147000+686000=833000（m³）

點評：本題以中國館的抽象圖為載體考查了空間中直線與直線間的位置關系，由三視圖求體積等知識點，其中棱臺的體積公式是解答本題的難點．