Question

【題目】如圖，在多面體ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC為等邊三角形，AE=1，BD=2，CD與平面ABCDE所成角的正弦值為 ．

（1）若F是線段CD的中點，證明：EF⊥平面DBC；
（2）求二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取BC的中點為M，連接FM，則可證AM⊥平面BCD，四邊形AEFM為平行四邊形，

所以EF∥AM，所以EF⊥平面DBC

（2）解：取AB的中點O，連結OC，OD，則OC⊥平面ABD，∠CDO即是CD與平面ABDE所成角， ，

設AB=x，則有 ，得AB=2，取DE的中點為G，

以O為原點，OC為x軸，OB為y軸，OG為z軸，建立如圖空間直角坐標系，則 ，

由（1）知：BF⊥平面DEC，又取平面DEC的一個法向量 =（ ，﹣1，2），

設平面BCE的一個法向量 =（1，y，z），由，由此得平面BCE的一個法向量 =（1， ，2 ），

則cos＜ ， ＞= = = =

所以二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值為

【解析】（1）根據線面垂直的判定定理進行證明即可．（2）建立坐標系，求出平面的法向量，利用向量法進行求解即可．