Question

已知向量

a

，

b

，

c

滿足

a

+

b

+

c

=

0

，|

c

|=2

3

，

c

與

a

-

b

所成的角為120°，則當t∈R時，|t

a

+(1-t)

b

|的取值范圍是

[

3

2

，+∞)

．

Answer 1

分析：由向量的運算法則作出圖象，并可知圖中的數量關系，把問題轉換為|

AF

|的值，進而結合圖象轉化為：A到直線BD上動點的距離的取值范圍，結合三角形的知識可得答案．

解答：解：如圖所示，
記向量

AB

=

a

，

AC

=

b

，-

AC

=

c

，則

DB

=

a

-

b

由題意結合向量的加減運算可得AC=2

3

，∠AOB=120°
在結合數乘的意義可得：|t

a

+(1-t)

b

|=|t(

a

-

b

)+

b

|=|t

DB

+

AD

|=|

DF

+

AD

|=|

AF

|，
代表點A到直線BD上動點的距離，
而當t變化時，點F在直線BD上運動，當F運動到圖中的點E處，
此時AE⊥BD，使點A到直線BD上動點的距離最小，
在RT△AOE中，AO=

3

，AE=AOsin∠AOB=

3

2

，故|t

a

+(1-t)

b

|≥AE=

3

2

，
故答案為：[

3

2

，+∞)

點評：本題為向量最值得求解，數形結合把問題轉化為點A到直線BD上動點的距離是解決問題的關鍵，屬中檔題．