Question

已知函數f（x）=

2x-1

2x+1

，
（1）判斷函數f（x）的奇偶性，并證明；
（2）求證函數f（x）在x∈（-∞，+∞）上是增函數．

Answer 1

分析：（1）先驗證f（-1）=-f（1），可知此函數為奇函數，再用奇函數的定義證明即可，奇函數定義：如果對?x∈D，f（-x）=-f（x）則函數f（x）為奇函數；
（2）利用函數單調性的定義證明即可，但一定注意f（x₁）-f（x₂）符號的判斷．

解答：解：由題意知：
（1）f（x）是奇函數．
證明：∵對?x∈R
有f(-x)=

2-x-1

2-x+1

=

(2-x-1)2x

(2-x+1)2x

=

1-2x

1+2x

=-f(x)
∴根據奇函數的定義可知：f（x）是奇函數
（2）任取x₁，x₂∈R，設x₁＜x₂
則f(x1)-f(x2)=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

(2x1-1)(2x2+1)-(2x1+1)(2x2-1)

(2x1+1)(2x2+1)

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂且f（x）=2^x為增函數，
∴2x1 ＜2x2
又∵(2x1+1)＞0；(2x2+1)＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
故：函數f（x）在x∈（-∞，+∞）上是增函數．

點評：本題主要考查函數奇偶性的判斷和證明，及函數單調性的證明，屬于基礎題型．