Question

設函數f（x）對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）求證：f（x）是奇函數；
（2）試問在-3≤x≤3時，f（x）是否有最值？如果有求出最值；如果沒有，說出理由．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0，代入題中關系式解出f（0）=0，再令y=-x，證出f（-x+x）=f（-x）+f（x）=0，得到f（-x）=-f（x），所以f（x）是奇函數；
（2）設x₁＜x₂可得f（x₂-x₁）＜0，從而證出f（x₁）-f（x₂）=-f（x₂-x₁）＞0，所以y=f（x）在R上為減函數．再取x=y=1，算出f（3）=3f（1）=-6且f（-3）=-f（3）=6，可得函數的最大值最小值．

解答：解：（1）令x=y=0，則有f（0）=2f（0）⇒f（0）=0．…（2分）
再令y=-x，則f（0）=f（-x+x）=f（-x）+f（x）=0．
∴f（-x）=-f（x），可得f（x）是奇函數．…（4分）
（2）任取x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，可得f（x₂-x₁）＜0．…（6分）
∵f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）=-f（x₂-x₁）＞0．
∴f（x₁）＞f（x₂），可得y=f（x）在R上為減函數．…（9分）
因此f（3）為函數的最小值，f（-3）為函數的最大值． 
∵f（3）=f（1）+f（2）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）=-6，f（-3）=-f（3）=6，
∴函數最大值為6，最小值為-6．…（12分）

點評：本題著重考查了函數的奇偶性、單調性和利用賦值法解決抽象函數問題等知識，屬于中檔題．從已知條件中找出具體函數的性質，使抽象函數具體化是解決本題的關鍵．