Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知曲線（θ為參數），將上的所有點的橫坐標、縱坐標分別伸長為原來的和2倍后得到曲線，以平面直角坐標系的原點為極點， 軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，已知直線．

（1）試寫出曲線的極坐標方程與曲線的參數方程；

（2）在曲線上求一點，使點到直線的距離最小，并求此最小值．

Answer 1

【答案】（1）的極坐標方程為， 的參數方程是（是參數）；（2）），最小值是．

【解析】試題分析：（1）先將的參數方程化為普通方程，從而得到的極坐標方程；先根據函數圖象的伸縮變換規律得到曲線的普通方程，從而得到的參數方程；（2）先求得直線的普通方程，再利用點到直線的距離公式表示出距離，然后利用三角函數的圖象與性質求得最值．

試題解析：（1）由已知得曲線的普通方程是，所以的極坐標方程為．

根據已知的伸縮變換得曲線的普通方程是，

所以曲線的參數方程是（是參數）．

（2）設，直線的普通方程是，

點到直線的距離．

當，即時， ，

此時點的坐標是，

所以曲線上的一點）到直線的距離最小，最小值是．