Question

18.如圖，橢圓的長軸A₁A₂與x軸平行，短軸B₁B₂在y軸上，中心為M（0，r）（b＞r＞0）.

（Ⅰ）寫出橢圓的方程，求橢圓的焦點坐標及離心率；

（Ⅱ）直線y=k₁x交橢圓于兩點C（x₁,y₁），D（x₂,y₂）（y₂＞0）；直線y=k₂x交橢圓于兩點G（x₃,y₃）,H（x₄,y₄）（y₄＞0）.

求證：=；

（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的C、D、G、H，設CH交x軸于點P，GD交x軸于點Q.

求證：|OP|=|OQ|.

（證明過程不考慮CH或GD垂直于x軸的情形）

Answer 1

18.（Ⅰ）解：橢圓方程為+=1.

焦點坐標為F₁（－,r）,F₂（,r）,

離心率e=.

 

（Ⅱ）證明：將直線CD的方程y=k₁x代入橢圓方程，得b²x²+a²（k₁x－r）²=a²b²,

 

整理得（b²+a²k₁²）x₂－2k¹a²rx+（a²r²－a²b²）=0.

 

根據韋達定理，得x₁+x₂=,x₁x₂=

所以=                                   ①

將直線GH的方程y=k₂x代入橢圓方程，同理可得

=.                                         ②

 

由①，②得==.

所以結論成立.

 

（Ⅲ）證明：設點P（p,0）,點Q（q,0）.

由C，P，H共線，得=,

解得p=.

由D，Q，G共線，同理可得q=.

 

由=變形得－=,

 

即－=.

所以|p|=|q|,

即|OP|=|OQ|.