Question

已知函數（a，b∈R）
（1）若y=f（x）圖象上的點處的切線斜率為-4，求y=f（x）的極大值；
（2）若y=f（x）在區間[-1，2]上是單調減函數，求a+b的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=1處的導數，以及切點在圖象上建立方程組，解之即可求出a和b求出解析式，先求出f′（x）=0的值，再討論滿足f′（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，來確定極值即可；
（2）將條件“若y=f（x）在區間[-1，2]上是單調減函數”轉化成f'（x）=x²+2ax-b≤0在區間[-1，2]上恒成立，根據二次函數圖象建立約束條件，利用線性規劃的方法求出a+b的最小值即可．
解答：解：（1）∵f'（x）=x²+2ax-b，
∴由題意可知：f'（1）=-4且，
解得（3分）
∴
f'（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3）
令f'（x）=0，得x₁=-1，x₂=3
由此可知：

∴當x=-1時，f（x）取極大值．（6分）
（2）∵y=f（x）在區間[-1，2]上是單調減函數，
∴f'（x）=x²+2ax-b≤0在區間[-1，2]上恒成立．
根據二次函數圖象可知f'（-1）≤0且f'（2）≤0，

即：
也即（9分）
作出不等式組表示的平面區域如圖：

當直線z=a+b經過交點時，z=a+b取得最小值，
∴z=a+b取得最小值為（12分）
點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及函數的單調性和線性規劃的應用，屬于基礎題．