Question

在坐標平面 內有一點列A_n（n=0，1，2，…），其中A₀（0，0），A_n（x_n，n）（n=1，2，3，…），并且線段A_nA_n+1所在直線的斜率為2ⁿ（n=0，1，2，…）．
（1）求x₁，x₂
（2）求出數列{x_n}的通項公式x_n
（3）設數列{nx_n}的前n項和為S_n，求S_n．

Answer 1

解：（1）A₀（0，0），A₁（x₁，1），A₂（x₂，2）直線A₀A₁的斜率為2⁰=1，
∴x₁=1
直線A₁A₂的斜率為2，，
∴
（2）當n≥1時，A_n（x_n，n），A_n+1（x_n+1，n+1），
∴，
累加得：，
檢驗當n=1時也成立，
∴
（3），令b_n=2n，對應的前n項和T_n=n（n+1）令
兩式相減得：
∴
∴
分析：（1）寫出A₀，A₁，A₂，通過直線的斜率直接求出求x₁，x₂．
（2）通過直線的斜率關系，推出，利用累加法求出數列{x_n}的通項公式x_n．
（3）寫出數列{nx_n}的前n項和為S_n，利用錯位相減法直接求S_n．
點評：本題是中檔題，考查數列項的求法，直線的斜率的應用，考查數列累加法與錯位相減法求和的重要方法，�？碱}型，值得同學們注意和學習．