Question

某廠根據市場需求開發折疊式小凳（如圖所示）、凳面為三角形的尼龍布，凳腳為三根細鋼管、考慮到鋼管的受力和人的舒適度等因素，設計小凳應滿足：①凳子高度為30cm，②三根細鋼管相交處的節點O與凳面三角形ABC重心的連線垂直于凳面和地面．
（1）若凳面是邊長為20cm的正三角形，三只凳腳與地面所成的角均為45°，確定節點O分細鋼管上下兩段的比值（精確到0.01）；
（2）若凳面是頂角為120°的等腰三角形，腰長為24cm，節點O分細鋼管上下兩段之比為2：3、確定三根細鋼管的長度（精確到0.1cm）．

Answer 1

分析：（1）設△ABC的重心為H，連接OH，根據∠OBH就是OB與平面ABC所成的角，建立BH與OH的等量關系，解之即可；
（2）設∠B=120°，△ABC的重心為H，求出OH，分別在Rt△AHO，Rt△CHO，Rt△BHO中求出OA、OB、OC，再根據比例關系求出所求即可．

解答：解：（1）設△ABC的重心為H，連接OH
由題意可得，BH=

20 3

3

設細鋼管上下兩段之比為λ
已知凳子高度為30、則OH=

30λ

1+λ

∵節點O與凳面三角形ABC重心的連線與地面垂直，且凳面與地面平行
∴∠OBH就是OB與平面ABC所成的角，亦即∠OBH=45°
∵BH=OH，∴

30λ

1+λ

=

20 3

3

解得λ=

2 3

9-2 3

≈0.63
即節點O分細鋼管上下兩段的比值約為0.63

（2）設∠B=120°，∴AB=BC=24，AC=24

3

設△ABC的重心為H，則BH=8，AH=8

7

，
由節點O分細鋼管上下兩段之比為2：3，可知OH=12
設過點A、B、C的細鋼管分別為AA'、BB'、CC'，
則AA′=CC′=

5

2

OA=

5

2

OH2+AH2

=10

37

≈60.8，
BB′=

5

2

OB=

5

2

OH2+BH2

=10

13

≈36.1，
∴對應于A、B、C三點的三根細鋼管長度分別為60.8cm，36.1cm和60.8cm

點評：本題主要考查了直線與平面所成的角，以及三角形重心的應用，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．