Question

已知函數為自然對數的底數）．
（1）求曲線在處的切線方程；
（2）若是的一個極值點，且點，滿足條件：.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求證：點，，是三個不同的點，且構成直角三角形．

Answer 1

（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）參考解析

試題分析：（1）由函數，求函數的導數，并計算即所求切線方程的斜率，又過點.即可求出結論.
（2）（ⅰ）由（1）得到的函數的導數，即可求出函數的單調區間，從而得到函數的極值點，即得到的值.
（ⅱ）需求證：點，，是三個不同的點，通過分類每兩個點重合，利用已知條件即方程的根的個數來判定即可得到三點是不同點的點.通過向量的數量積可得到三點可構成直角三角形.
（1），                                    2分
，又，                                  4分
所以曲線在處的切線方程為，
即．                                               5分
（2）（ⅰ）對于，定義域為．
當時，，，∴；
當時，；
當時，，，∴，                 8分
所以存在唯一的極值點，∴，則點為．                9分
（ⅱ）若，則，，
與條件不符，從而得．
同理可得．                                      10分
若，由，此方程無實數解，
從而得．                                       11分
由上可得點，，兩兩不重合．
又


從而，點，，可構成直角三角形．                   14分