Question

已知直線l：y=x+1，圓O：，直線l被圓截得的弦長與橢圓C：的短軸長相等，橢圓的離心率．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點M（0，）的動直線l交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點T，使得無論l如何轉動，以AB為直徑的圓恒過定點T？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）則由題設可知b=1，（2分）
又，∴，∴a²=4 （3分）
所以橢圓C的方程是．…（4分）
（Ⅱ）若直線l與y軸重合，則以AB為直徑的圓是x²+y²=1①
若直線l垂直于y軸，則以AB為直徑的圓是 ②…（6分）
由①②解得．
由此可知所求點T如果存在，只能是（0，1）．…（7分）
事實上點T（0，1）就是所求的點．證明如下：
當直線l的斜率不存在，即直線l與y軸重合時，以AB為直徑的圓為x²+y²=1，過點T（0，1）；
當直線l的斜率存在，設直線方程為，代入橢圓方程，并整理，得（18k²+9）x²-12kx-16=0（8分）
設點A、B的坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=，x₁x₂=
∵=（x₁，y₁-1），=（x₂，y₂-1）
∴=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=（k²+1）x₁x₂-（x₁+x₂）+=
∴，即以AB為直徑的圓恒過定點T（0，1）．…（11分）
綜上可知，在坐標平面上存在一個定點T（0，1）滿足條件．…（12分）
分析：（Ⅰ）由題設可知b=1，利用，即可求得橢圓C的方程；
（Ⅱ）先猜測T的坐標，再進行驗證．若直線l的斜率存在，設其方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用向量的坐標運算公式即可證得．
點評：本小題主要考查橢圓的標準方程、向量的坐標運算、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．