Question

（本題滿分15分）

數列首項，前項和與之間滿足．

（Ⅰ）求證：數列是等差數列；

（Ⅱ）求數列的通項公式；

（Ⅲ）設存在正數，使對都成立，求的最大值．

 

Answer 1

（Ⅰ）因為時，得

由題意

又 是以為首項，為公差的等差數列．

（Ⅱ）；(Ⅲ) 的最大值是．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）將已知直接代入公式中，即可得到，兩邊同除以即可得出結論；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求出，運用公式即可求出數列的通項公式；(Ⅲ)記 ，根據數列的單調性判斷其為單調遞增的，所以使得恒成立，只需滿足即可. 而由的單調性知，，即可求出的最大值.

試題解析：（Ⅰ）因為時，得

由題意

又因為 是以為首項，為公差的等差數列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）有

時，

又

(Ⅲ) 設

則

在上遞增 故使恒成立，只需．

又 又 ，

所以，的最大值是．

考點：等差數列；數列的單調性.