Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分別是CB、CD、CC₁的中點，求證：
（1）EF⊥A₁C   
（2）平面A B₁D₁∥平面EFG．

Answer 1

分析：（1）連結BD，可得EF∥BD，正方形ABCD中，證出EF⊥AC．利用線面垂直的定義，證出AA₁⊥EF，根據線面垂直判定定理得到EF⊥平面AA₁C，再由A₁C是平面AA₁C內的直線，可得EF⊥A₁C；
（2）連結C₁D，利用三角形中位線定理和正方體的性質，證出FG∥AB₁，從而得出FG∥平面AB₁D₁，同理可得EF∥平面AB₁D₁，由面面平行判定定理可得平面A B₁D₁∥平面EFG．

解答：解：（1）連結BD，
∵EF為△BCD的中位線，∴EF∥BD，
∵四邊形ABCD為正方形，得BD⊥AC，∴EF⊥AC，
又∵正方體中，AA₁⊥面ABCD，EF?面ABCD，∴AA₁⊥EF，
∵AA₁、AC是平面AA₁C內的相交直線，
∴EF⊥平面AA₁C，
又∵A₁C?平面EFG，∴EF⊥A₁C．
（2）連結C₁D
∵△CC₁D中，F、G分別是CD、CC₁的中點，∴FG∥C₁D
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD

∥

.

B₁C₁，
∴四邊形ADB₁C₁是平行四邊形，可得AB₁∥C₁D
因此FG∥AB₁
∵FG?平面AB₁D₁，AB₁?平面AB₁D₁，∴FG∥平面AB₁D₁
同理可得EF∥平面AB₁D₁
∵FG、EF為平面EFG內的相交直線，∴平面A B₁D₁∥平面EFG．

點評：本題在正方體中證明線面垂直和面面平行．著重考查了正方體的性質、線面垂直的判定與性質、面面平行與垂直的判定定理等知識，屬于中檔題．