Question

已知函數f(x)=

1

2

ax2-(2a+1)x+2lnx．(a∈R)；
（1）若曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線平行，求a的值；
（2）求f（x）的單調區間；
（3）設g（x）=x²-2x，是否存在實數a，對?x₁∈（0，2]，?x₂∈（0，2]，使得f（x₁）＜g（x₂）均成立；若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求導函數，利用曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線平行，可求a的值；
（2）利用導數求函數的單調區間的步驟是①求導函數f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函數的增區間（或減區間），對于本題的在求單調區間時要注意函數的定義域以及對參數a的討論情況；
（3）由題意可知f（x）的最大值小于g（x）的最大值，然后根據二次函數的增減性即可得到g（x）的最小值，再根據（2）求出的f（x）的單調區間，即可求出f（x）的最大值，進而列出關于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范圍．

解答：解：（1）f′(x)=ax-(2a+1)+

2

x

∵曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線平行
∴f′（1）=f′（3）
∴a=

2

3

（2）函數的定義域為（0，+∞），f′(x)=ax-(2a+1)+

2

x

=

(x-2)(ax-1)

x

當a=0時，單調減區間為（0，2），單調增區間為（2，+∞）；
當0＜a＜

1

2

時，單調減區間為（2，

1

a

），單調增區間為（0，2），（

1

a

，+∞）；
當a=

1

2

時，單調增區間為（0，+∞）；
當a＜0或a＞

1

2

時，單調增區間為（0，

1

a

），（2，+∞）；單調減區間為（

1

a

，2）；
（3）由已知，轉化為f（x）_max＜g（x）_max．
由x∈（0，2]，得到g（x）_max=g（2）=0，
當a≤

1

2

時，f（x）在（0，2]單調遞增，此時f（x）_max=f（2）=-2a-2+2ln2，
∴-2a-2+2ln2＜0
∴ln2-1＜a≤

1

2

，
當a＞

1

2

時，f（x）在（0，

1

a

）上遞增，在（

1

a

，2）上單調遞減；
∴f（x）_max=f（

1

a

）=-2-

1

2a

-2lna，則-2-

1

2a

-2lna＜0恒成立
即只需a＞

1

2

即可（∵lna＞ln

1

2

＞ln

1

e

=-1，∴-2-2lna＜0）
綜上可知，存在實數a滿足條件，a的范圍（ln2-1，+∞）

點評：本題考查的重點是導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的最值，考查恒成立問題，解題的難點是題意的理解與轉化，體現了轉化的思想．有一定的難度．