Question

已知函數f(x)=x-

1

x

，g(θ)=sin2θ+

2

sinθ+cosθ

+

2

(1-a)cos(θ-

π

4

)+4-a(θ∈[0，

π

2

])，
（1）求證：f（x）在區間（0，+∞）單調遞增．
（2）集合M={a|g(θ)＞0，θ∈[0，

π

2

]}，N={a|f[g(θ)]≥0，θ∈[0，

π

2

]}，求M∩N．

Answer 1

分析：（1）利用導數研究函數f（x），得當x＞0時，f′（x）＞0恒成立，由此可得函（x）在區間（0，+∞）單調遞增．
（2）由題意，集合M∩N就是滿足集合M、N中的不等式都成立的實數a的取值范圍．解f（x）≥0，并結合集合M的條件可得g（θ）≥1恒成立，然后換元：設t=sinθ+cosθ=

2

cos(θ-

π

4

)∈[1，

2

]，將函數f（g（θ））表示成關于t的函數加以分析，可得a≤t+

2

t

恒成立，利用基本不等式求最值即可得到t+

2

t

有最小值2

2

，從而得到M∩N．

解答：解：（1）由于函數f（x）=x-

1

x

，
∴求導數，得f′（x）=1+

1

x2

＞1，可得當x＞0時，f′（x）＞0，
因此，可得函數f（x）在區間（0，+∞）單調遞增．
（2）由題意，得f（x）≥0等價于x≥1或-1≤x＜0，
故g（θ）≥1恒成立，
由θ∈[0，

π

2

]，可得cos（θ-

π

4

）∈[

2

2

，1]．
設t=sinθ+cosθ=

2

cos(θ-

π

4

)∈[1，

2

]，
則g(θ)=t2-1+

2

t

+(1-a)t+4-a，
∴g（θ）≥1，即t2-1+

2

t

+(1-a)t+4-a=(t+1)(t+

2

t

-a)≥0…（*）
由于t+1≥2為正數，所以不等式（*）等價于t+

2

t

-a≥0
可得a≤t+

2

t

恒成立，即a≤（t+

2

t

）_min，
∵函數y=t+

2

t

在（0，

2

）上是增函數，在（

2

，+∞）上為減函數
∴當t=

2

時，t+

2

t

有最小值2

2

，因此a≤2

2

綜上所述，滿足集合M、N中的不等式都成立的實數a的取值范圍為（-∞，2

2

]，即M∩N=（-∞，2

2

]．

點評：本題給出復合三角函數，討論函數的單調性與最值，并求集合的交集．著重考查了三角函數的圖象與性質、利用導數研究函數的單調性和不等式恒成立的討論等知識，屬于中檔題．