Question

時值5月，荔枝上市．某市水果市場由歷年的市場行情得知，從5月10日起的60天內，荔枝的售價S（t）（單位：元/kg）與上市時間t（單位：天）的關系大致可用如圖1所示的折線ABCD表示，每天的銷售量M（t）（單位：噸）與上市時間t（單位：天）的關系大致可用如圖2所示的拋物線段OEF表示，其中O為坐標原點，E是拋物線的頂點．
（1）請分別寫出S（t），M（t）關于t的函數關系式；
（2）在這60天內，該水果市場哪天的銷售額最大？

Answer 1

分析：（1）根據圖1，發現當0≤t≤10時，函數S（t）=10，而當10＜t≤40時和當40＜t≤60時，函數S（t）的表達式都是一次函數，可以先設出它們的一次解析式，利用圖象上的已知點求出一次項系數和常數項，可以得到函數S（t）的函數關系式．對于M（t），根據它的圖象是開口向下的拋物線，經過原點且關于直線t=40對稱，結合頂點坐標，不難用待定系數的方法求出M（t）關于t的函數關系式；
（2）根據（1）的函數S（t）的分段函數關系式，分①當0≤t≤10時，②當10＜t≤40時，③當40＜t≤60時，分別得到P（t）關于t的函數關系式，利用導數工具討論各段上的單調性，從而得出函數P（t）在各段上的最大值，再將各個最大值進行比較，從而得出當t=47時，水果市場的銷售額最大．

解答：解：（1）①由圖1可知，當0≤t≤10時，S（t）=10
②當10＜t≤40時，設S（t）=a₁t+b₁，因為函數S（t）的圖象過點B（10，10），C（40，5）
所以

10a1+b1=10 40a1+b1=5

，解之得

a 1=-  1 6 b 1=  35 3

∴當10＜t≤40時，S（t）=-

1

6

t+

35

3

③當40＜t≤60時，設S（t）=a₂t+b₂，因為函數S（t）的圖象過點C（40，5），C（60，6），
所以用類似②的方法可得

a 2= 1 20 b 2 = 3

，此時S（t）=

1

20

t+3，
綜上所述，S（t）=

10，   0≤t≤10，t∈N - 1 6 t+ 35 3 ，    10＜t≤40，t∈N 1 20 t+3，      40＜t≤60，t∈N

由圖2可知，函數M（t）在x=40時取得最大值，故設M（t）=a（t-40）²+10
又函數M（t）的圖象過點O（0，0），所以a（-40）²+10=0，解之得a=-

1

160

所以M（t）=-

1

160

（t-40）²+10=-

1

160

t²+

1

2

t，0≤t≤160，t∈N
（2）在這60天內，設該水果市場的銷售額與天天數的函數關系為P（t），則
①當0≤t≤10，t∈N時，P（t）=1000S（t）M（t）=10000（-

1

160

t²+

1

2

t）
可得：當t=10時，P（t）_max=P（10）=43750．
②當10＜t≤40，t∈N時，P（t）=1000S（t）M（t）=1000（-

1

6

t+

35

3

）（-

1

160

t²+

1

2

t）=

25

24

（t³-150t²+5600t）
∵（t³-150t²+5600t）′=3t²-300t+5600=3（t-50）²-1900＞0在區間（10，24]上成立，
且（t³-150t²+5600t）′=3t²-300t+5600=3（t-50）²-1900＜0在區間[25，40]上成立
∴P（t）在區間（10，24]上是單調增函數，在區間[25，40]上是單調減函數
當10＜t≤40，t∈N時，P（t）_max應該是P（24）和P（25）中的較大者
而P（24）=64400，P（25）≈64453.13，因此P（t）_max=P（25）
③當40＜t≤60，t∈N時，P（t）=1000S（t）M（t）=1000（

1

20

t+3）（-

1

160

t²+

1

2

t）=

5

16

（-t³+20t²+4800t）
用類似②的方法，可得P（t）在區間（40，47]上是單調增函數，在區間[48，60]上是單調減函數．
而P（47）≈51861.56＞P（48）=51840，所以此時P（t）_max=P（47）
綜上所述，P（t）的最大值為P（47）≈51861.56
所以在這60天內，該水果市場第47天的銷售額最大．

點評：本題以一個實際問題為例，考查了分段函數的單調性與最值的知識點，計算量很大，是一道難題．在解題過程中用到了分類討論與轉化化歸的思想，綜合了函數多種性質加以解決．