Question

已知函數是偶函數．

（1）求實數的值；

（2）設函數，若函數與的圖象有且只有一個公共點，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

（1），（2）.

【解析】

試題分析：（1）因為函數是偶函數，所以有等量關系，本題難點在化簡對數式，由易得，關鍵會化簡，（2）本題第一個難點是化簡方程，即，這里主要會化簡從而再利用對數性質運算得：；第二個難點是“方程只有一個根”轉化為“二次方程只有一個正根”，這需明確指數函數的范圍，即；第三個難點是分類討論二次方程只有一個正根的情形的等價條件.主要是兩個不等根的情況討論,需結合運用韋達定理.

試題解析：【解析】
（1）由題意知：任意有，

即恒成立．

∴恒成立，化簡得對恒成立，∴． 5分

（2）∵函數與的圖象有且只有一個公共點，

∴方程有且只有一個實根，

化簡得：方程有且只有一個實根，

令，則方程有且只有一個正根. 7分

①當時，不合題意； 8分

②當時，

(ⅰ)若，則.

若，則不合題意；若，則合題意； 10分

(ⅱ)若即時，

由題意，方程有一個正根與一個負根，即，解得，∴. 12分

綜上所述，實數的取值范圍是. 13分

考點：偶函數性質應用，二次方程根的個數.