Question

函數f（x）=

1

3

x³+ax²+5x+6在區間[1，3]上為單調函數，則實數a的取值范圍是（　　）

• A．[-

  5

  ，

  5

  ]
• B．（-∞，-3）
• C．（-∞，-3][-

  5

  ，+∞）
• D．[-3，

  5

  ]

Answer 1

分析：求導函數，f（x）在[1，3]上為單調函數，則f′（x）≤0或f′（x）≥0在[1，3]上恒成立，利用分離參數法，借助于導數，確定函數的最值，即可求實數a的取值范圍．

解答：解：求導數可得：f′（x）=x²+2ax+5
∵f（x）在[1，3]上為單調函數，∴f′（x）≤0或f′（x）≥0在[1，3]上恒成立．
令f′（x）=0，即x²+2ax+5=0，則a=-

x2+5

2x

設g（x）=-

x2+5

2x

，則g′（x）=

5-x2

2x2

令g′（x）=0得：x=

5

或x=-

5

（舍去）
∴當1≤x≤

5

時，g′（x）≥0，當

5

≤x≤3時，g′（x）≤0
∴g（x）在（1，

5

）上遞增，在（

5

，3）上遞減，
∵g（1）=-3 g（3）=-

7

3

，g（

5

）=-

5

∴g（x）的最大值為g（

5

）=-

5

，最小值為g（1）=-3
∴當f′（x）≤0時，a≤g（x）≤g（1）=-3
  當f′（x）≥0時，a≥g（x）≥g（

5

）=-

5

∴a≤-3或a≥-

5

故選C．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的最值，分離參數，求函數的最值是關鍵．