Question

【題目】在平面直角坐標系中，，兩點的坐標分別為，，動點滿足：直線與直線的斜率之積為.

（1）求動點的軌跡方程；

（2）過點作兩條互相垂直的射線，與（1）的軌跡分別交于，兩點，求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）由題意得，利用，即，即可求解橢圓的標準方程；（2）設，，把直線方程與橢圓的方程聯立，可得根與系數的關系、弦長關系、點到直線的距離公式，即可求解出三角形的面積表示，在利用基本不等式即可求解面積的最小值.

試題解析：（1）已知，，設動點的坐標，

所以直線的斜率，直線的斜率，

又，所以，即.

（2）設，，直線的方程為，與橢圓聯立

消去得，，.

∵，∴，∴.

即，把，

代入得，

整理得，所以到直線的距離.

∵，∴，當且僅當時取“=”號.

由得，∴，

即弦的長度的最小值是.

所以三角形的最小面積為.