Question

已知函數f(x)=1+

2

x

，數列{a_n}中，a₁=a，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．當a取不同的值時，得到不同的數列{a_n}，如當a=1時，得到無窮數列1，3，

5

3

，

11

5

，…；當a=2時，得到常數列2，2，2，…；當a=-2時，得到有窮數列-2，0．
（Ⅰ）若a₃=0，求a的值；
（Ⅱ）設數列{b_n}滿足b₁=-2，b_n=f（b_n+1）（n∈N^*）．求證：不論a取{b_n}中的任何數，都可以得到一個有窮數列{a_n}；
（Ⅲ）若當n≥2時，都有

5

3

＜an＜3，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據f(x)=1+

2

x

，數列{a_n}中，a₁=a，a_n+1=f（a_n）直接求解即可，先根據a₃求出a₂，進而求出a₁．
（Ⅱ）假設a為數列b_n中的第i（i∈N^*）項，通過b_n=f（b_n+1），a_n+1=f（a_n），得到a_i+1=f（a_i）=f（-2）=0．從而得到結論．
（Ⅲ）根據a2=f(a1)=f(a)=1+

2

a

，且

5

3

＜a2＜3，得到a的取值范圍，再根據當

5

3

＜an＜3時，

5

3

＜1+

2

an

＜

11

5

＜3，確定a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）因為a₃=0，且a3=1+

2

a2

，
所以a₂=-2．同理可得a1=-

2

3

，即a=-

2

3

．
（Ⅱ）證明：假設a為數列b_n中的第i（i∈N^*）項，即a₁=a=b_i；則a₂=f（a₁）=f（b_i）=b_i-1；a₃=f（a₂）=f（b_i-1）=b_i-2；
a_i=f（a_i-1）=f（b₂）=b₁=-2；ai+1=f(ai)=1+

2

ai

=0，即a_i+1=f（a_i）=f（-2）=0．
故不論a取b_n中的任何數，都可以得到一個有窮數列a_n．
（Ⅲ）因為a2=f(a1)=f(a)=1+

2

a

，且

5

3

＜a2＜3，
所以1＜a＜3．
又因為當

5

3

＜an＜3時，

5

3

＜1+

2

an

＜

11

5

＜3，
即

5

3

＜an+1＜3，所以當1＜a＜3時，有

5

3

＜an＜3．

點評：本題是數列與函數的綜合題，通過函數考查了數列的求值，不等式的求解，綜合性比較強．