Question

已知點M是圓C：x²＋y²＝2上的一點，且MH⊥x軸，H為垂足，點N滿足＝，記動點N的軌跡為曲線E.

(1)求曲線E的方程；

(2)若AB是曲線E的長為2的動弦，O為坐標原點，求△AOB面積S的最大值．

Answer 1

 [解析]　(1)設N(x，y)，M(x′，y′)，則由已知得，x′＝x，y′＝y，

代入x²＋y²＝2得，x²＋2y²＝2.

所以曲線E的方程為＋y²＝1.

(2)因為線段AB的長等于橢圓短軸的長，要使三點A、O、B能構成三角形，則弦AB不能與x軸垂直，故可設直線AB的方程為y＝kx＋m，

由消去y并整理得，

(1＋2k²)x²＋4kmx＋2m²－2＝0.

設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

又Δ＝16k²m²－4(1＋2k²)(2m²－2)>0，

所以x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝，

因為|AB|＝2，

所以＝2，

即(1＋k²)[(x₂＋x₁)²－4x₁x₂]＝4，

所以(1＋k²)[(－)²－]＝4，

即m²＝，

因為k²≥0，所以≤m²<1.

又點O到直線AB的距離h＝，

因為S＝|AB|·h＝h，

所以S²＝h²＝＝.

令S²＝u,1＋k²＝t，則t≥1，∴1＋2k²＝2t－1，

∴S²＝，即u＝，u′＝≤0，

∴u＝在[1，＋∞)上單調遞減，

∴t＝1時，u_max＝，

即S²≤，∴0<S≤，即S的最大值為.