Question

如圖，底面是矩形的四棱錐P—ABCD中AB=2，BC=，側面PAB是等邊三角形，且側面PAB⊥底面ABCD.

（1）證明：側面PAB⊥側面PBC；

（2）求側棱PC與底面ABCD所成的角；

（3）求直線AB與平面PCD的距離．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析

（2）45°

（3）

【解析】本試題主要是考查了立體幾何中，面面垂直問題，以及線面角的求解，和線面的距離的相關知識的理解和運用。側重在判定定理和性質定理的靈活運用上。

（I）證明：在矩形ABCD中，BC⊥AB      又∵面PAB⊥底面ABCD側面PAB∩底面ABCD=AB      ∴BC⊥側面PAB     又∵BC側面PBC    ∴側面PAB⊥側面PBC）       4分

  （II）解：取AB中點E，連結PE、CE     又∵△PAB是等邊三角形   ∴PE⊥AB 

    又∵側面PAB⊥底面ABCD，∴PE⊥面ABCD     ∴∠PCE為側棱PC與底面ABCD所成角

     在Rt△PEC中，∠PCE=45°為所求

   （Ⅲ）解：在矩形ABCD中，AB//CD      ∵CD側面PCD，AB側面PCD，∴AB//側面PCD

    取CD中點F，連EF、PF，則EF⊥AB    又∵PE⊥AB    ∴AB⊥平面PEF   又∵AB//CD

    ∴CD⊥平面PEF   ∴平面PCD⊥平面PEF    作EG⊥PF，垂足為G，則EC⊥平面PCD

    在Rt△PEF中，EG=為所求.