Question

（2012•廣東）對任意兩個非零的平面向量

α

和

β

，定義

α

•

β

=

α • β

β • β

．若兩個非零的平面向量

a

，

b

滿足

a

與

b

的夾角θ∈(

π

4

，

π

2

)，且

a

•

b

和

b

•

a

都在集合{

n

2

|n∈Z}中，則

a

•

b

=（　　）

• A．

  5

  2

• B．

  3

  2

• C．1
• D．

  1

  2

Answer 1

分析：先求出

a

°

b

=

n

2

，n∈N，

b

°

a

=

m

2

，m∈N，再由cos²θ=

mn

4

∈（ 0，

1

2

），故 m=n=1，從而求得

a

°

b

=

n

2

的值．

解答：解：∵

a

°

b

=

a • b

a • b

=

a • b

b • b

=

| a | •| b |•cosθ

| b |2

=

| a | •cosθ

| b |

=

n

2

，n∈N．
同理可得

b

°

a

=

b • a

a • a

=

| a | •| b |•cosθ

| a |2

=

| b | •cosθ

| a |

=

m

2

，m∈N．
再由

a

與

b

的夾角θ∈(

π

4

，

π

2

)，可得cos²θ=

mn

4

∈（ 0，

1

2

 ），故 m=n=1，
∴

a

°

b

=

n

2

=

1

2

，
故選D．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積的定義，求得 m=n=1，是解題的關鍵，屬于中檔題．